a＞0，b＞0，（ab+b）/（a²+b²+1）的最大值是？

用二元函数求极值计算。

c = ( ab + b )/( a^2 + b^2 + 1 )

∂c/∂a = [ b( a^2 + b^2 + 1 ) - 2a( ab + b ) ]/( a^2 + b^2 + 1 )^2

= b( b^2 - a^2 - 2a + 1 )/( a^2 + b^2 + 1 )^2 = 0；

∵ b ≠ 0， ∴ b^2 - a^2 - 2a + 1 = 0；①

∂c/∂b = [ ( a + 1 )( a^2 + b^2 + 1 ) - 2b( ab + b ) ]/( a^2 + b^2 + 1 )^2

= ( a + 1 )( a^2 - b^2 + 1 )/( a^2 + b^2 + 1 )^2 = 0；

∵ a + 1 ≠ 0， ∴ a^2 - b^2 + 1 = 0，b^2 = a^2 + 1；

代入①，a^2 + 1 - a^2 - 2a + 1 = 0，a = 1；

b^2 = a^2 + 1 = 2，b = √2；

∂²c/∂a² = [ -( 2ab + 2b )( a^2 + b^2 + 1 )^2 - 4ab( a^2 + b^2 + 1 )( b^2 - a^2 - 2a + 1 ) ]/( a^2 + b^2 + 1 )^4

= [ -4√2 * 4^2 - 4√2 * 4 * 0 ]/4^4 = -1/8；

∂²c/∂b² = [ -2b( a + 1 )( a^2 + b^2 + 1 )^2 - 4b( a + 1 )( a^2 + b^2 + 1 )^2 ]/( a^2 + b^2 + 1 )^4

= [ -4√2 * 4^2 - 8√2 * 4^2 ]/4^4 = -3√2/4；

∂²c/∂ab = [ ( 3b^2 - a^2 - 2a + 1 )( a^2 + b^2 + 1 )^2 - 4b^2( a^2 + b^2 + 1 )( b^2 - a^2 - 2a + 1 ) ]/( a^2 + b^2 + 1 )^4

= [ 4 * 4^2 - 8 * 4 * 0 ]/4^4 = 1/4；

A = ∂²c/∂a² = -1/8 < 0；C = ∂²c/∂b² = -3√2/4 < 0；

B^2 - AC = 1/16 - 3√2/32 < 0；

故 a = 1，b = √2 是极大值点；

( ab + b )/( a^2 + b^2 + 1 ) 最大值是 2√2/4 = √2/2 。