利用导数的定义求函数y=根号(x^2+1)的导数？

定义:

y'=lim dx->0 [y(x+dx)-y(x)]/dx

=lim dx->0 [根号((x+dx)^2+1)-根号(x^2+1)]/dx

分子有理化，上下同乘[根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1)]

注意分子是(a-b)(a+b)=a^2-b^2,根号抵消

=lim dx->0 [((x+dx)^2+1)-(x^2+1)]/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]

=lim dx->0 (2x*dx+dx^2)/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]

=lim dx->0 (2x+dx)/[(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]

然后把dx=0代入，得到

y'=2x/[2根号(x^2+1)]=x/根号(x^2+1)